FI (Φ)
La proporción áurea o número de oro se
estudió desde la antigüedad, ya que aparece regularmente en geometría, en los
patrones de crecimiento de órganos y organismos biológicos, crecimiento de
poblaciones. Se usa desde la antigüedad en arquitectura, arte, producción
industrial, etc.
La pirámide de Keops, el Partenón, Edificio
Naciones Unidas, el ADN, hojas, pétalos, brócoli, semillas, tarjetas de
crédito, entomología,
Se conoce ya de su existencia en los
pentágonos regulares y pentagramas de las tabletas sumerias de alrededor del 3200 adeC
En la antigua Grecia se utilizó para establecer
las proporciones de los templos tanto en su planta como en sus fachadas. En el
Partenón Fidias también lo aplicó en la composición de las esculturas. ( la denominación Fi la efectuó en 1900 el matemático
Mark Barr en su honor).
Platón (circa 428 adC - 347 adC), consideró
la sección áurea como la mejor de todas las relaciones matemáticas y la llave a
la física del cosmos.
.
La sección áurea se usó mucho en el
Renacimiento, particularmente en las artes plásticas y la arquitectura. Se
consideraba la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo.
Se llamó por primera vez “Divina
Proporción” a principios del Siglo XVI .
Da Vinci hizo las ilustraciones para una
disertación publicada por Luca Paccioli en 1509 titulada "De Divina
Proportione" , quizás la referencia más temprana en la literatura a otro
de sus nombres, el de "Divina Proporción". Este libro contiene los
dibujos hechos por Leonardo da Vinci de los cinco sólidos platónicos. Es
probable que fuera Leonardo quien diera por primera vez el nombre de
"sectio aurea".
Los artistas del Renacimiento utilizaron el
número de oro en múltiples ocasiones tanto en pintura, escultura como
arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza. Leonardo Da Vinci, por
ejemplo lo utilizó para definir todas las proporciones fundamentales en su
pintura "
Johanes Kepler (1571-1630), descubridor de la naturaleza elíptica de las órbitas de los planetas alrededor del sol, mencionó también la “Divina Proporción", diciendo esto acerca de ella: "La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa."
Hoy en día se puede ver en multitud de
diseños. El más conocido y difundido sería la medida de las tarjetas de crédito
la cual también sigue dicho patrón, así como nuestro carné de identidad y
también en las cajetillas de tabaco.
En la arquitectura moderna sigue usándose,
por ejemplo está presente en el conocido edificio de
Existe la relación del número áureo también
en el pentáculo, un símbolo pagano más tarde acogido por la iglesia católica
para representar a
Φ=1,61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544862
2705260462818902449707207204189391137484754088753868917521266338622
2353693179318006076672635443338986595939582905638322661319928290267
88067520876689250171169620703222104321…etcétera.
Expresado como el del Segmento de Euclides, dibujado apenas esquemáticamante:
¡——–¡—–¡
A ....... B... C
La proporción del segmento total ( AC) entre la del segmento grande(AB) es la misma que la de el grande entre el pequeño (AB/BC) tal que AC/AB = AB/BC. Independientemente de la medida del segmento( ya que hablamos de proporciones) si esto se cumple el resultado siempre va a ser Phi, se dice que el segmento esta dividido en extrema y media razón o en proporción áurea.
Phi tiene mas curiosidades, imaginaros un número tal que el cuadrado del mismo sea igual al número mas uno, es decir:
x2 = x + 1 de donde obtenemos que: x2– x – 1 = 0
De esta ecuación obtenemos a Phi y como resultado negativo al inverso de Phi en negativo ( tambien se cumple que el inverso de Phi es lo mismo que Phi menos uno, es decir 0,6180339887…, a este número hay quien le llaman el hermano menor de Phi, y se escribe en minúsculas,”phi”).
Al aplicar la fórmula general para ecuaciones de segundo grado obtenemos:
Phi = Φ = x= (1 + raiz de 5)/2 ; como resultado positivo:
.......Φ= x= 1,61803398874989484820458683436563811...
5 es un número curioso, guarda relación directa con Phi en esta ecuación, y es el primer número de la escala de Fibonacci que no es consecutivo al anterior. Gracias a esto en un pentágono regular( polígono de CINCO lados) obtenemos que la relación entre la diagonal del pentágono y el lado del mismo es Phi.
Aplicando un poco de trigonometría, se deduce porqué el coseno de 36 es la mitad de Phi y porque el seno de 72 entre el seno de 36 es Phi.
.
(1)
Esta proporción, como se dijo, se encuentra en la naturaleza de manera natural, gracias a esta proporción el desarrollo de las especies frecuenta, como en las espirales de los girasoles que van hacia un sentido y las que van hacia otro son números de Fibonacci ( por lo cual la suma de todas las espirales dará el siguiente número de esta sucesión). Es mas interesante saber el porqué de esta no coincidencia, y es porque de esta manera, se aprovecha al máximo el espacio circular del girasol ( cuando tengas uno a mano comprueba que no hay huecos, cosa que si que pasaría si la distribución fuera horizontal).
En las hojas de ciertas plantas, apreciamos tambien esto, en una hoja de la planta, el número de hojas que hay entre una hoja y otra que este justo perpendicularmente encima de la misma, este número de hojas como el numero de vueltas que da al tallo, esta en la sucesión de Fibonacci.
En las semillas de las plantas, se habrán preguntado porqué las raíces de las plantas no se amontonan unas sobre otras?
la respuesta está en Phi: la semilla es circular, si dividimos sus grados( 360º)entre Phi, aproximadamente da 222,5º, si ahora restamos 222,5º a los 360º de un círculo completo obtenemos 137,5º, que es el ángulo de separación entre las raices que nacen consecutivamente. Es gracias a esto, de una manera natural, que no se amontonan unas sobre otras y aprovechan mejor el terreno.
La concha del nautilius: la concha de este caracol tiene una espiral, pero esa espiral es una espiral áurea, que se obtiene de la siguiente forma: a través de un rectángulo áureo (el lado mayor entre el menor es Phi) o un triángulo áureo (triángulo isósceles cuya proporción entre un lado mallor y el menor, o el mayor entre uno menor es Phi) que se explica con un rectángulo áureo.
Asi como aparece en la concha del nautilius, esta espiral forma diversas galaxias.
De alguna forma el número Phi está en la naturaleza porque la naturaleza asi lo pide, porque es la forma más elemental de organizarse y crecer a partir de dos elementos.
En el vuelo de un halcón, supongamos que un halcón está justo encima de su presa, pongamos un ratón. Si efectivamente esta perpendicularmente encima, el halcón bajará haciendo una espiral áurea, y de ese modo, baja lo mas rápido posible manteniendo su vista siempre sobre la presa.
Hay artistas que se aprovechan de esta proporción y la reflejan en sus obras de arte, Da vinci por ejemplo:
- en el cuadro de la mona lisa, la cara de la misma esta inscrita en un rectángulo de oro, al igual que en la última cena.
- en el hombre del vitrubio, da vinci forma al ser humano a partir de rectángulos áureos.
La proporción áurea es importante en la construción de fractales, partamos de uno sencillo, supongamos que queremos crear un fractal a partir de triángulos equiláteros, construyendo otros triangulos equiláteros mas pequeños en los vértices del inicial, si la proporción que hay entre los triángulos mas pequeños a formar es 1/0,5 por ejemplo, las ramas de fractales no se llegaran a tocar entre si, esto solo sucedería si se van construllendo en proporción áurea
El número áureo en la música
La sucesión de Fibonacci está basada en el
número áureo. El cociente de un término de la sucesión con el anterior tiende
al número áureo.
El compositor húngaro Bela Bartok y el francés
Olivier Messiaen utilizaron esta serie para determinar la duración de las notas
de algunas de sus obras.
El compositor mexicano Silvestre Revueltas
(1899-1945) utilizó también el número áureo en su obra Alcancías , para
organizar las partes (unidades formales).
Casi todo sobre FI y las Leyes de la Geometría Sagrada:
http://geometriadelaconciencia.wordpress.com/2012/12/14/leyes-de-la-geometria-sagrada/........ VER
¿Estará FI relacionada con las
demás constantes matemáticas universales?
¿Y si les muestro una
fórmula que las vincula?, … SIGA Y VEALO:
π + e + ii+ β+ Φ = 10 (*)
( ii · eπ/2 )Φ - 1 = 0 (*)
π =
|
3,14159265358979
|
Razón
esférica
|
e =
|
2,71828182845904
|
Exponencial, base de logaritmos naturales
|
Φ =
|
1,61803398874989
|
Razón divina, proporción áurea
|
β =
|
2,31415926535898
|
No. de Boile
|
i =
|
√¯-1
|
No. imaginario, factor de Nos. complejos
|
ii = I =
|
0,20787957635076
|
Razón
compleja / real
|
UNO =
|
1
|
No. Neutro (sistema
binario)
|
CERO =
|
0
|
No. Absorbente (sistema binario)
|
DIEZ =
|
10
|
Base
decimal
|
|
|
|
|
|
|
π = 8/1·3 + 8/5·7 + ...
|
PI
|
|
e = ( 1 + 1/n )n n→∞
|
e
|
|
Φ = ( 1 +√¯5 ) / 2
|
FI
|
|
β = ( п/10 ) + 2
|
BETA
|
|
i = √¯( -1 ) (i2 = i · i = -1)
|
i
|
|
I = ii = e--п/2 = √¯1/eπ
|
IOTA (i a la potencia i)
|
|
|
|
|
Lo mejor es que no hay que
creerlo y ya, como haría Santo Tomás: saca una calculadora y lo suma para
comprobarlo.
Como dijo un sabio: “nada en matemática coincide por casualidad”
… ¿A que es fantástico?
(1): La imagen "Geometría del huevo " es tomada del artículo De la armonía de la naturaleza a la arquitectura de Carlos Calvimontes, cuya lectura recomiendo.