.. Fractales y Caos
¿VOLUMENES VS BORDES?
¿COMPOSICIÓN VS FRACTURA?
Los
matemáticos y los filósofos, nos parecen tan lejanos como locos, sin embargo,
con su enfermiza racionalidad nos calan hasta la mínima neurona: Aristóteles nos implantó un dualismo,
que veinti tantos siglos después sigue creando
fundamentalismos, Euclides nos condujo a percibir y estudiar la forma, olvidando la fractura, la
rugosidad.
Las formas
se habían estudiado como la parte suave de las cosas, éstas están profundamente ligadas a la esfera, como extrapolación
de suavidad y tridimensionalidad del círculo, incluso
la luz, el sonido, el color, etc, están asociados a
la constante esférica Pi (p ). Seguramente por eso allí radica la
atracción mágica que ejerce sobre las mentes racionales de todas las épocas y
culturas.
Si cedemos
a Aristóteles tendríamos que decir que lo opuesto a la suavidad es la
rugosidad, que ahora se está abordando con la geometría de los fractales, en contraposición a la geometría euclideana y sus derivadas.
Durante
estos veinte siglos el tema había sido abordado por los artistas, que parece
siempre han entendido que la realidad es una sola, que cuerpo y piel son una
sola cosa, que se necesitan mutuamente para funcionar, independientemente de
que se analicen por aparte.
Los fractales conectan de inmediato con la teoría
del caos y a los sistemas dinámicos y esto nos acerca muy rápido a una
comprensión un poco mas armónica e integral de la
realidad.
Un fractal es un objeto geométrico cuya
estructura básica se repite en diferentes escalas. El término fue propuesto por
el matemático Benoit Mandelbrot en 1975. En muchos casos los fractales
pueden ser generados por un proceso recursivo o iteractivo capaz de producir
estructuras autosimilares independientemente de la escala
específica. Los fractales son estructuras geométricas que combinan
irregularidad y estructura.
A finales del siglo XIX
y comienzos del XX, un grupo de matemáticos, encabezados por Peano, Hilbert, Koch y Sierpinski, entre otros,
formularon una nueva familia de curvas con inquietantes propiedades matemáticas
que escapaban a todo intento de clasificación hasta el momento.
Al contrario que la
geometría utilizada entonces (basada en rectángulos, círculos, triángulos, elipses,
etc.), esta nueva geometría describe sinuosas curvas, espirales y filamentos
que se retuercen sobre sí mismos dando elaboradas figuras cuyos detalles se
pierden en el infinito.
En
1977, con la ayuda de las grandes computadoras de
http://www.epsilones.com/paginas/i-fractales.html
http://geocities.com/zeoz/fractals.html
http://aixa.ugr.es/fractal.html
Conjunto de Mandelbrot ......... .. Conjunto de Julia . ,,, .. Conjunto de Julia
..Divergencia: z2 + c ... Convergencia: c·ex ,,,,, Inversión: z3/2 + c
De
hecho podemos entender la geometría fractal como la geometría de la naturaleza, del caos y del orden, con formas y
secuencias que son localmente impredecibles, pero globalmente ordenadas, en
contraste con la geometría euclídea, que representa
objetos creados por el hombre.
Algunos
matemáticos han tratado de aplicar una lógica de continuidad en sus
definiciones y procedimientos, con lo cual de nuevo se alejan de la aplicación
real a fenómenos tan diversos como el comportamiento meteorológico, las
operaciones bursátiles, conformación de nubes, costas, rayos, olas, playas, procesos
geológicos, biológicos y sociales, mecánica de fluidos, sistemas neuronales,
circulatorios, bronquiales, patrones cristalográficos, morfología vegetal, etc.
Caracoles Romanescu, Brócoli Araucarias
La
clave para la aplicación la ha dado hace poco el propio Benoit Mandelbrot, cuando planteó la importancia de
la “intermitencia” y los “atractores” como información inherente
a la “iteración”.
Existe una “clave genética” de “escala
ecológica” que le indica cuando debe detenerse la fórmula de crecimiento
para cada cosa y que representa su óptima economía de implantación natural en
sistemas dinámicos.
El "efecto mariposa"
es un concepto que incluye la noción de dependencia sensible en condiciones
iniciales en la teoría científica “la
teoría del caos”. La idea es que pequeñas variaciones en las condiciones
iniciales de un sistema dinámico pueden producir grandes variaciones en el
comportamiento del sistema a largo plazo o recorrido.
Su nombre proviene del
antiguo proverbio chino: “el aleteo de las alas de una mariposa se puede sentir
al otro lado del mundo”.
La interpretación es que la
realidad no es mecánica y no es lineal, o dicho de otra forma, la incapacidad
del hombre y la ciencia de predecir y controlar la realidad, y que existe un
orden en los acontecimientos aparentemente aleatorios.
El meteorólogo Edgard Lorenz fue el primero en analizar este concepto en un
trabajo de 1963 para
Esta interrelación de
causa-efecto se da en todos los eventos de la vida. Un pequeño cambio puede
generar grandes resultados o dicho poéticamente: "el aleteo de una mariposa en China puede desatar una tormenta
en Costa Rica".
La consecuencia práctica del
efecto mariposa es que en sistemas complejos tales como el estado del tiempo o
la bolsa de valores es muy difícil predecir con seguridad en un mediano rango
de tiempo.
Sistemas Dinámicos y Teoría del
Caos es la rama de
las matemáticas que trata acerca del comportamiento cualitativo a largo plazo
de un sistema dinámico.
No se trata de encontrar soluciones exactas a
las ecuaciones que definen dicho sistema dinámico (lo cual suele ser
imposible), sino más bien el poder contestar preguntas como "¿A largo plazo,
se estabilizará el sistema? ¿Y si lo hace, cuáles serán los estados
posibles?" o "¿Variará el estado a largo plazo del sistema, si
cambian las condiciones iniciales?"
Uno de los objetivos
importantes aquí es describir los puntos fijos, o puntos estables de un sistema
dinámico dado; son los valores de la variable que son constantes en el tiempo.
Algunos de estos puntos son “atractores”, lo que significa que
si el sistema 'arranca' en un estado cercano, convergerá hacia este punto fijo.
También nos interesan los puntos periódicos, o estados del
sistema que se repiten una y otra vez. Los puntos periódicos también pueden ser atractores.
El teorema de Sarkovskii describe el número de puntos periódicos en un
sistema dinámico discreto unidimensional.
Se llama caótico a todo
sistema determinista que es sensible a las condiciones iniciales.
El ejemplo
más espectacular es el de las formas fractales, y entre las fractales la más
espectacular es el conjunto de Mandelbrot. Este conjunto, se obtiene como representación del sistema dinámico descrito por la ecuación
zn+1 = zn2 + c, que viene a ser una versión de una función logística pero para números
complejos.
Nos
encontramos de nuevo con un sistema determinista que es, sin embargo,
impredecible, pues no hay ningún algoritmo que permita decidir a priori si un
punto del plano complejo pertenece al conjunto o no: solo lo podemos saber
iterando. Y basta que nos desplacemos un poco para que la situación cambie. Es
decir, caos, puro caos, aunque se trate de un caos con una estructura
extraordinaria, como se puede comprobar ampliando las imágenes arriba
mostradas.
La
geometría fractal, si bien no fue formalmente formulada hasta 1980, es cierto
que por ser inherente a la naturaleza siempre ha estado allí, como fuente de
inspiración artística, como principio científico de comprensión científica del
orden, la estructura y sus relaciones y como base para los patrones de
percepción estética.
Muchos
artistas y arquitectos, desde hace miles de años, lo han aplicado: pintura
china, las pagodas, templos en Tailandia, el Taj Mahal y mas recientemente
Gracias al
desarrollo informático, al excelente humor que caracteriza la mayoría de los
ingenieros del software y a ese niño artista que los ronda, tenemos ahora
poderosos programas, incluso gratis, que permiten ponerle color y animación a
los gráficos creados mediante la geometría fractal, de nuevo entendiendo cuerpo
y piel como una sola cosa, acercando así la ciencia y lo cotidiano.
Para ver
mas arte fractal y aprender sobre geometría fractal, con un enfoque crítico y
abundante humor, les recomiendo el web site de:
Alberto
Rodríguez Santos: http://www.epsilones.com/paginas/i-fractales.html
Programa gratis
para arte fractal: http://www.apophysis.org/index.html
Programa
para fractales con 30 días de prueba: http://www.ultrafractal.com/
Y otras buenas
aplicaciones: http://geocities.com/zeoz/fractals.html
(Basta
hacer Control + Clic para seguir el
vínculo)
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