DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA DE EULER

Euler es más conocido por la formulación del número "e", la base exponencial, pero últimamente su famosa fórmula es la protagonista. Euler y Gauss son considerados los mayores genios de la matemática.

La Fórmula de Euler / Lindeman es considerada la más bella del mundo, porque en una forma sencilla y elegante relaciona 5 de las entidades fundamentales de la matemática (puedes ver artículos de cada una, en esta sección), y se encuentra en el centro de nuestras vidas: en el teléfono celular, meteorología, aviones, barcos, sistemas anti robo y todo lo que use el sistema de posicionamiento global, además, como dice Mimetist:

“Esta identidad se puede utilizar para obtener coordenadas con unos cálculos ridículos y una precisión asombrosa sin necesidad de calcular senos y cosenos… fue el primer paso (o uno de los primeros) para los sistemas GPS y GPRS que utilizan las coordenadas polares para determinar la posición del dispositivo y permitir su comunicación.

Y la belleza de todas estas cuestiones es la misma que pueda tener una obra de Shakespeare o un cuadro de Monet… con la diferencia de que la Identidad de Euler seguirá siendo cierta cuando todos los cuadros y libros se hayan quemado. “

En términos trigonométricos, ya no suena tan formidable, y quiere decir que el coseno de 180 grados es -1, (cos 180 = -1) y su representación gráfica es:

Hay varias formas de demostrar esta fórmula, pero les expondré la que considero más elegante:

DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA DE EULER

Si en (1) sustituimos x por z·i,
Si consideramos que i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1, etc.
Si agrupamos las potencias pares de z por un lado y las impares por otro, entonces:

Fantástico ¿verdad?, por eso en alguna ocasión el matemático Benjamín Peirce les dijo a sus alumnos: "Caballeros, esto es sin duda cierto, es absolutamente paradójico, no podemos comprenderlo y no sabemos lo que significa, pero lo hemos demostrado y, por lo tanto, sabemos que debe ser verdad".

El problema de comprensión y acto de fe que lleva implícito, se puede mitigar con la siguiente expresión que les propongo:

que sí es entendible, ya que se puede calcular fácilmente con una calculadora, si consideramos que:

(puede ver la demostración el artículo: el número imaginario)
Considere que con una calculadora u hoja de cálculo , lo que obtendríamos es una aproximación, porque estos números irracionales tienen infinito número de decimales, por lo que el software debe redondear para hacer el cálculo, por lo que la comprobación práctica, parece suficientemente buena:

De todas maneras, sinceramente hecho en falta que no contenga la otra importante y famosa constante universal:

que incluye además el número de Boile ( β = 2,31415926535898... ) y la base decimal y con una simple calculadora se puede comprobar, desde luego una aproximación, tal como en el caso anterior.

Hay que agregar el fantástico hecho de que sumando 5 números irracionales (con infinito número de decimales cada uno) se obtenga un número entero y que ese número no solo es la base decimal, sino que contiene el uno y el cero, emblemáticos en matemática y base del sistema binario. Total 8 entidades fundamentales en una sola fórmula. … Increíble, ¿verdad?

se puede observar una buena ilustración y explicación de la Fórmula de Euler utilizando el “plano complejo”.