.....bola de futbol
SPHAEDRO, SEXAEDRO Y ESFERAS

Se dice que la esfera sería un poliedro
con infinito número de caras, pero una esfera de 2 metros de alto con
acabado vidrio y una perfección de 1 millonésimo, en la realidad sólo es
un sphaedro de 2.592 caras pentágono regulares. Este infinito no asusta.

Célula madre.fullerenopenta fractales
Qué tienen que ver una célula madre, un fullereno y los fractales penta-regulares con el fútbol?

“Pregunta, por favor, a los animales domésticos, y ellos te instruirán;
también a las criaturas aladas de los cielos, y ellas te informarán.
O muestra tu preocupación a la tierra, y ella te instruirá;
y los peces del mar te declararán”. (Job 12:7,8.)

Por Ibo Bonilla Oconitrillo

Como escultor la esfera es el poliedro por excelencia a plasmar, como matemático me confundo, porque los “matemáticos de verdad” no aceptan la esfera como un poliedro regular, aunque comparten el enamoramiento patológico con la esfera como motivo de sus desvelos.

Tanto es así que el ruso Grigori Perelman despreció la fama y más de 1,5 millones de dólares y las mayores condecoraciones, después de probar en el 2003 la hipótesis de Poincaré, como un problema relativo a la hiper-esfera, que llevaba casi un siglo de los más grandes esfuerzos de demostración por parte de millones de matemáticos.

Dice su maestro Serguéi  Rukshín: "Lo que lo desconcertó no fue que el mundo fuera imperfecto, sino que el mundo de los matemáticos lo sea"

mat-Perelman,_Grigori_(1966)Teorema de Poincaré

Sí, la esfera enamora a sacerdotes y profanos, su perfección no se puede evadir, constituye un arquetipo ancestral que nos refiere a la unidad y el infinito, principio, fin y equidistancia, expresión por excelencia de la economía de gesto: “la menor piel para el máximo contenido”

Seguro por esto la esfera aparece por doquier en la naturaleza, caracterizada por su eficiencia, y desde luego en todo lo que hacen sus aprendices: ciencias exactas, naturales  y sociales, artes, técnicas  e híbridos como la física-matemática. Recordemos que la matemática ha sido considerada por milenios como una de las bellas artes y no termina de ser aceptada como ciencia.

La naturaleza no tiene apuros en modelar las esferas cuando las necesita y como las necesita, aunque tenga que acudir a transformaciones topológicas (sin el rigor y limitaciones de la geometría euclidiana).

Naranjas comprimidas.poliedros

Tanto las utiliza en mórulas, células madre, fullerenos nanotecnológicos, como campos gravitacionales o cuerpos estelares, pero cuando necesita empacar grupos de esferas, las comprime para ahorrarse el 4,21% del espacio, de donde nace la grilla hexagonal, como la más eficiente organización modular de crecimiento infinito.

De nuevo aparecen los poliedros regulares (sólidos  platónicos) como un modo natural de transformar secuencias de áreas planas asimilándose a esferas y viceversa. Nos conduce a la física astronómica de la expansión gravitacional y a la nanotecnología.

fulereno 5-3-2_2 . fulereno 5-3-2_2

Los fullerenos esféricos reciben a menudo el nombre de buckyesferas y los cilíndricos el de buckytubos o nanotubos. Reciben su nombre de Buckminster Fuller, que empleó la configuración de hexágonos y pentágonos en domos geodésicos. El fullereno es la tercera forma molecular más estable del carbono, tras el grafito y el diamante.

La-Bioesfera-del-arquitecto-Fuller-en-Montreal-a-la-que-deben-su-nombre-los-fulerenos. La-Bioesfera-del-arquitecto-Fuller-en-Montreal-a-la-que-deben-su-nombre-los-fulerenos

El uso de hexágonos  y pentágonos nos lleva inmediatamente al desvelo de millones de espectadores que cada semana siguen por televisión (y en vivo) se concentran en una bola de futbol y la siguen ansiosos viendo como 10 jugadores tratan de metérsela al cancerbero (a veces en el sentido mitológico y otras en el freudiano).

Cuál es la más eficiente forma de obtener una esfera a partir de un poliedro?
Cuál es el sólido platónico más regular?

dodec-radio_circunscrito
dodec-radio-inscrito
dodec-sup

Observando los cuadros anteriores, es el icosaedro el que tiene menor volumen en este caso, respecto de su esfera inscrita, que supondremos de radio 1 (es decir, el poliedro regular que excede en menor cantidad el volumen de su esfera inscrita)

El dodecaedro tiene mayor volumen respecto de su esfera circunscrita.

Si calculamos los volúmenes de cada uno de los cinco poliedros regulares para superficie fija igual a 1, el icosaedro es el que tiene mayor volumen.

Sin embargo como escultores lo que más nos importa es lo que sobra: los salientes, porque el procedimiento para modelar una esfera consiste normalmente para la talla directa en aproximarse con un poliedro regular, que tenga inscrita la esfera del diámetro deseado y luego ir cuidadosamente quitando los salientes.

Por razones prácticas se inicia con algún volumen  cercano al cubo pasando al “cubo cortado” de 8 triángulos equiláteros y 6 octógonos no regulares.( C=14, V=24, A=36)

Cubo de Rubic penta.simposio intl escultura heredia.Flor ancestral IBO

Para la bola de futbol, por economía y porque se utilizan materiales un tanto elásticos que generan naturalmente curvas geodésicas al inflarse, se usa el icosaedro truncado de 12 pentágonos y 20 hexágonos (C=32, V=60, A=90), para su fabricación. Cabe mencionar que el primer fullereno encontrado en la nonotecnología tiene la misma configuración.

La estructura es conocida como C60, que es la de un icosaedro truncado, y se asemeja al balón de fútbol cuyo diseño se inició con el Telstar 1970. Está configurado por 20 hexágonos y 12 pentágonos, con un átomo de carbono en cada una de las esquinas de los hexágonos y un enlace a lo largo de cada arista. El dibujo más antiguo conocido del icosaedro truncado es el de Piero della Francesca y el más conocido el que Leonardo da Vinci hizo para el libro La Divina Proporción por encargo de Luca Pacioli.

simposio intl escultura herediafullerene C60Icosaedro truncado por de Vinvi

Por manías matemáticas de perfección abstracta y también por elegancia, propongo un acercamiento sucesivo por iteraciones a partir del despliegue de los 12 pentágonos del dodecaedro (C=12, V=20, A=30), usando éste como nido, único poliedro que permite hacer iteraciones a modo de fractal.

Partiendo de una esfera a modelar de un radio definido, para este efecto y para dar un sentido general de referencia, partiremos de una esfera de radio 1 (R=1) a la cual circunscribimos un dodecaedro, que en términos de sección constituye un hexágono.

En primera instancia, respecto a la esfera de referencia (R=1), los salientes (Si) son:

S1= 0,154700000…  para poliedro circunscrito de 12 caras penta-regulares.
S2= 0,003819000…  para poliedro circunscrito de 72 caras penta-regulares.
S3= 0,000105000…  para poliedro circunscrito de 432 caras penta-regulares.
S4= 0,000002900... para poliedro circunscrito de 2.592 caras penta-regulares.
S5= 0,000000081... para poliedro circunscrito de 15.552 caras penta-regulares.

O sea, que con solo la primera iteración: un poliedro de 72 caras, respecto a la esfera de 1 metro de radio, los salientes serían de sólo 4 milímetros y para 432 caras los salientes son de un diezmilímetro (décima parte de un milímetro), o sea imperceptible a la vista, incluso al tacto, califica en lo que llamamos pulido vidrio, como el pulido de los sobres de granito para mostradores y pisos.

Desde luego que esto significa que si la esfera es por ejemplo de un kilómetro de radio, los salientes serían de 10 centímetros, que igualmente a la vista son indetectables, por la escala, pero basta hacer una sóla iteración más y obtener una esfera de un kilómetro de radio con acabado vidrio.

Con la cuarta iteración (o aumento) del dodecaedro (2.592 caras penta-regulares), para cualquier tamaño, el radio inscrito y el radio circunscrito tienden a ser iguales, con una diferencia de millonésimas de milímetro, por lo que para todos los efectos es una esfera geométricamente perfecta, ya que todo es relativo a la escala del proyecto.
Es aquí donde recordamos a Albert Einstein: "...cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son exactas; cuando son exactas, no se refieren a la realidad".

Y es que la verdadera atracción de los sólidos platónicos es que se pueden ver y tocar, …embelesarnos, …acariciarlos con el tacto, mente y espíritu, son el “santo y seña” de la perfección del incomparable diseño del Gran Arquitecto.

Desde luego que aquí aparece en escena la esfera (como convidado de piedra ante el altar de los sólidos platónicos), ocupando el primer lugar en la reverencia humana a la perfección, al principio y fin, unidad e infinito; acudiendo a su memoria genética que le recuerda que el Sol es la única fuente de su propia supervivencia, tanto que no lo puede mirar sin el sentimiento de reverencia a la Divinidad.

No es para menos, el 16 de agosto del 2012 la Agencia Espacial internacional reporta:

“El Sol es el objeto natural más redondo conocido en el Universo, así lo aseguraron científicos de la Universidad de Hawai, quienes durante dos años los midieron con más de 50.000 imágenes de alta resolución del Observatorio de Dinámica Solar de la NASA (SDO).

El equipo liderado por el Dr. Jeffrey Kuhn han hecho la primera medición precisa de la protuberancia ecuatorial del Sol.

Los resultados fueron una gran sorpresa, ya que en su diametro de 1,4 millones de kilómetros de ecuador y sus polos, sólo tiene 10 kilómetros de diferencia.

Esto significa que es el objeto más redondamente perfecto en el Universo, que sólo en una pelota de silicio que se construyó para una investigación se ha logrado.”

Sol 25 set 12 . -Einstein_gyro_gravity_probe_b-NASA
Foto del Sol y giroscopio de cuarzo fundido (experimento de la sonda Gravity Probe B), que difiere de una esfera perfecta por no más de unos 40 átomos de espesor, refracta la imagen de Albert Einstein en el fondo.

Sin duda el mismo Sol tiene desviaciones respecto a una esfera teórica, pero siendo el culto solar el eje de las mayores religiones actuales, me parece exagerado poner en duda que sea una esfera, como también es un poliedro regular y convexo de 93.312 caras pentagonales, con una desviación menor que la reportada por el Dr. Kuhn.

El sphaedro permite tener una familia de poliedros regulares y convexos  a partir de la expansión tipo fractal del dodecaedro (12 caras penta-regulares), con la precisión que desee para una esfera dada.

dodecaedro expandido 72

dodecaedro ampliado por sección media
dodecaedro seccion Ri 1

Vale recordar que el sphaedro con 2.592 caras tiene una desviación menor de 2 millonésimas respecto a una esfera de un metro de radio, a partir de de aquí arranca una tendencia asintótica aceleradísima hacia una desviación (Salientes Si) tendiente a cero, con lo cual la esfera interior y la exterior, propias de los sólidos platónicos, tienden a ser la misma, convergiendo hacia la esfera preestablecida.

expresion mat sphaedro

También recordemos que el método seguido, sería el de un escultor que va quitando sucesivamente los salientes (rugosidades) hasta obtener el grado de pulido que visual, táctil o estéticamente considere apropiado.

penta fractales

sphaedro-dodecaedro expandido
sphaedro-salientes

Para el sexaedro se comprueba con un procedimiento de aproximación similar, pero nace del análisis separado de las tendencias proyectivas de los sólidos platónicos con caras de triángulos equiláteros, que hacen prever que existe al menos otro poliedro regular convexo de triángulos equiláteros, que en caso del sexaedro son 60 caras.
Dado que son triángulos equiláteros nos refiere en el plano a la formación de hexágonos y pentágonos, como en el icosaedro truncado, el mismo de las bolas de futbol.

Cuando la esfera dada de referencia es cada vez más pequeña, las desviaciones tienden a desaparecer, pero al aumentar, tienden a comportarse en el marco de Ortodrómica como parte de la geodesia práctica para establecer es el camino más corto entre dos puntos de la superficie terrestre, así como con la esfera homológica de Poincaré, donde el teorema sostiene que la esfera tridimensional, también llamada 3-esfera o hiperesfera, es la única variedad compacta tridimensional en la que todo lazo o círculo cerrado (1-esfera) se puede deformar (transformar) en un punto.

solidos platonicos caras tringulares


triangulo esferico_trirectangle. Triangulo geodesico
En la Ortodrómica un triángulo puede llegar a tener 3 ángulos rectos internos


ALGO SOBRE PENTÁGONOS

Tanto el sexaedro, pero primordialmente el sphaedro conducen al pentágono y este al número FI (sección áurea) y por lo tanto a la “Geometría Sagrada”, la naturaleza y el cuerpo humano y sus proporciones. Por lo que presentaremos un resumen para notar el valor agregado de alcanzar la esfera a través de iteraciones de pentágonos regulares, que intrínsecamente llevan a vincular el Número FI con el Número PI.

Geometría

El pentágono y triángulos áureos:

El pentágono regular da origen al triángulo áureo que es un triángulo isósceles con dos ángulos en la base que miden 72 grados y el ángulo opuesto 36grados.  A su vez, si la base del triángulo mide 1, sus otros dos lados están en proporción áurea y miden 1,6180339..

Luego el pentágono da origen a la estrella de cinco puntas, la que es considerada una figura de gran contenido simbólico. Con una punta hacia arriba se considera una protección contra el mal y al contrario, cuando se ubica con dos puntas hacia arriba, un signo del mal, considerado como la supremacía de la materia sobre el espíritu. Además todos sus trazos se encuentran en la proporción áurea.

En seguida podemos observar la existencia de tres tamaños de triángulos áureos insertos en la estrella de cinco puntas que se inscribe en el pentágono áureo. Cada uno mantiene la misma relación áurea entre la base del triángulo y cada uno de sus otros dos lados.

Relación pentágono-hexagono.Fi y pentagono

El Número FI es conocido desde la antigüedad y está íntimamente ligado al crecimiento sano y armónico de las formas biológicas y minerales, que incluyen desde nivel celular hasta el astronómico.

Parecería extraña la aparición de la proporción FI en casi toda la Creación, pero no lo es  al considerar que prácticamente todo en la naturaleza crece a base de agregar un evento con el anterior para formar el siguiente. Al transformar esto en relaciones numéricas conduce a las sucesiones conocidas como Series de Fibonnacci, Leonardo de Pisa publico en su libro Liber Abaci en 1202, donde al dividir un número entre sus antecesor tiende a FI conforme avanza hacia el infinito. (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, …)

Leonardo de Pisa_Fibonacci . serie fibonacci-grafico
Escultura de Fibonacci y gráfica de los primeros 10 de la sucesión
Fue quien introdujo la numeración decimal en occidente

Esta es una convergencia asintótica, algo ineludible en matemática, porque en ella no existe lo exacto, incluso los Números Enteros no existen como entes exactos sino como un límite infinitesimal, para el cual fijamos en la realidad un umbral de conformidad, lo mismo que con el sphaedro y la esfera. Como aceptar sin berrinches que una canica o una bola de futbol sean una esfera.

Entre menos evolucionada la sucesión, menos exacta es la proporción, pero cuando tiende al infinito, su límite es Fi (1,6180339887498…), algo así como una meta inalcanzable para los perfeccionistas, pero meta al fin.
Esto nos explica el porqué los organismos o estructuras menos evolucionadas intuitivamente nos parecen menos perfectas, menos bellas.

Por milenios se ha insistido que los entes que más incluyan la proporción Fi en su estructura y forma, serán las aceptadas como más bellas. Es decir que cuanto más se ajusten a las sucesiones de Fibonacci, más bellas nos parecen, lo cual requiere de que su evolución sea la mayor posible y que sea lo más sana posible (evolucionada y sin traumas). En otras palabras, como una elección orientada a garantizar nuestra supervivencia, elegimos lo que consideramos bello y eso significa matemáticamente hablando que sus proporciones tienden a Fi = 1,6180339...

Porqué unas cosas parecen más bellas que otras?
Porque unas son más sanas y evolucionadas que otras, …que se acercan más a la proporción Fi = 1,6180339...
Obsérvese en el gráfico cómo conforme avanza la secuencia la división de cada número entre su anterior tiende con más detalle a Fi = 1,6180339...

Serie de Fibonacci


Porqué unas personas tienen mejor gusto que otras?
Porque tienen una mayor intuición para detectar la presencia de la condición de estar más sanas y evolucionadas que otras, …que se acercan más a la proporción Fi.

Y las modas?
A veces responden también a necesidades de incorporar nuevas tecnologías, por eso pasan con la temporada y queda sólo lo esencial, lo que sirve para la supervivencia como prioridad natural.

Y las particularidades culturales?
Tales particularidades normalmente obedecen al nicho ecológico en que se establecen, como una respuesta a especificidades necesarias a considerar para sobrevivir en un momento determinado, aunque a veces por inercia permanecen innecesariamente y llegan en la posteridad a ser considerados una aberración.

Tal parece ser el caso de los ejemplos de la circuncisión y el matrimonio entre los hebreos de la época del Antiguo Testamento, que llegaron a considerarse una imposición divina, cuando en realidad respondieron a una necesidad sanitaria grave, dada la pandemia de enfermedades de transmisión sexual en momentos de gran promiscuidad y escasos recursos médicos. Nótese que la circuncisión ya se considera una aberración confirmada científicamente, pero el matrimonio permanente se resiste, incluso ante las evidencias estadísticas.

Así que la elegancia (como capacidad para elegir), así como la belleza (como expresión de mejor evolución y salud), no son tan subjetivos como suelen argumentar los menos evolucionados, para enmascarar racionalmente sus propias carencias o como la tolerancia necesaria para interrelacionarse. Belleza y elegancia están íntimamente vinculados a la proporción Fi, que como expresión matemática es el mediador entre la física y la estética.

La estrecha y abundante  relación entre los pentágonos (cuna geométrica de Fi),  el sphaedro (iteración fractal del dodecaedro) y la esfera, constituye una verdadera senda a la perfección, sustentada en la natural evolución y su sano desarrollo.

series_aureasproporciones figurahumanagalaxia_aurea
Pentágonos y sus espirales Fi en la naturaleza: desde las células hasta las galaxias

El pentágono es una figura geométrica muy frecuente en la naturaleza y estrechamente ligada al crecimiento de las formas. Seccionando una pera en sentido horizontal, por ejemplo, se descubre que en el centro del fruto las semillas están dispuestas en pentágono. Hay muchísimas flores con cinco pétalos.

Los empaquetamientos naturales, como expresión de la óptima eficiencia en el uso del espacio, muestra una interesantísima relación entre esferas,  pentágonos y hexágonos.

La esfera por definición es la forma más eficaz de cubrir con la mínima piel el mayor volumen, pero cundo se juntan quedan unos espacios vacíos equivalentes al 4,21% del espacio ocupado.

Entonces sucede que las  esferas tienden a compactarse  espontáneamente, por la fuerza gravitatoria o presiones organizacionales, buscando no desperdiciar el espacio disponible. Al juntarse a presión, las secciones  transversales y longitudinales muestran hexágonos, pero por el acomodo alterno en los espacios vacíos entre grupos de tres esferas, tienden a formar dodecaedros (12 caras pentagonales).

 Cuando la naturaleza organiza órganos donde predomina el carácter de superficie, o sea que predomina la amplitud sobre el espesor, para adaptarse a moldear diferentes curvaturas a modo de piel, externamente se perciben como hexágonos tipo panal de abeja, llenando toda la superficie, pero a nivel volumétrico son troncos de pirámides de base hexagonal, siendo el caso particular en superficies planas, donde la figura es el paralepípedo de base hexagonal.

colmena.celulas


Hay un largo etcétera de ejemplos de pentágonos, Fi y Series de Fibonacci en e mundo natural, a continuación un resumen:

-La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.

-La relación entre la distancia entre las espirales del interior espiralado de cualquier caracol (no sólo del nautilus)

-La relación entre los lados de una estrella de cinco puntas, Pentagrama o Penta-alfa.

-La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).

-La distancia entre las espirales de una piña.

-La relación con el cociente entre el número de espirales horarias y antihorarias de una flor de girasol o maravilla.

-Las relaciones entre muchas partes corporales de los humanos y los animales:

-La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.

-La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.

-La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.

-La relación entre las divisiones vertebrales.

-La relación entre las articulaciones de las manos y los pies.

Pentágonos en Religiones y Símbolos

El pentágono se usó mucho en las ilustraciones y decoraciones árabes, chinas y persas antiguas, así como la civilización occidental en su diferentes énfasis históricos. Del pentágono se deriva la estrella de cinco puntas, que desde los tiempos más antiguos ha tenido valores simbólicos y religiosos.

Según la lectura simbólica, una estrella con la punta hacia arriba representa el poder de Dios y en el microcosmos representa al Hombre; en cambio, si tiene dos puntas hacia arriba es el símbolo del poder diabólico y se usa en las invocaciones de la magia negra, que se representa como el macho cabrío.

Como anatema nacional,en muchas banderas se ve la estrella de cinco picos, como por ejemplo en la bandera turca, en la bandera roja de la Unión Soviética y en la bandera de barras y estrellas americana -curiosa semejanza de símbolos entre dos países antagónicos como los soviéticos y norteamericanos-. También en los símbolos heráldicos y mágicos aparece a menudo la figura de la estrella.

Consecuencia del pentágono y de la estrella de cinco puntas es el número cinco y viceversa. El pueblo de la estrella y de la media-luna debe repetir su oración cinco veces al día, y sus deberes se encuentran en las cinco columnas del Islam.

En el Pentateuco, considerado obra de Moisés, es el conjunto de los cinco libros de la ley hebrea -Génesis, Éxodo, Levítico, Números, Deuteronomio- que constituyen la base de las religiones hebrea, cristiana y musulmana. Para los hebreos, el número cinco es el número de la divinidad.

En el sello de Salomón hay una estrella de cinco puntas que se consideraba tener el poder de gobernar a todos los espíritus. Sobre la ventana occidental de la nave sur de la abadía de Westminster aparece dicho símbolo místico; al parecer, dada su frecuente presencia en la naturaleza, esta imagen es reconocida desde tiempos antiguos como una misteriosa fuerza de equilibrio.

La estrella de cinco puntas, con toda su precisión geométrica, cautiva al ser humano desde niño, por la curiosidad de poderse dibujar en un solo trazo continuo, constituyendo un juego de motora fina y orden mental para las secuencias.

estr frat rosacruz. estrella esotericaestrella y macho cabrio
Fraternidad Rosacruz ------------- Logia Masónica ---------------- Iglesia satánica


Pentágono y arquitectura

A diferencia del cuadrado y del triángulo equilátero, el pentágono regular no crea estructuras bidimensionales o tridimensionales continuas. En cambio, está estrechamente ligado al crecimiento de las formas dado que contiene esa medida de las proporciones armónicas llamada “sección áurea”.

En arquitectura ha servido como planta de muchas fortalezas y ciudades fortificadas. Por ejemplo, la Villa Farnese, en Caprarola, basada en una fortaleza proyectada por Antonio Sangallo y Baldassare Peruzzi, y completada después por Jacopo Barozzi llamado Vignola, está proyectada sobre un pentágono regular.

Por qué el sphaedro no se ha popularizado en el diseño y construcción en 3D?
Posiblemente porque aunque es más preciso y elegante que las estructuras usuales para construir domos, requiere de más variedad de piezas que las formadas por triángulos equiláteros organizados en hexágonos y pentágonos de corrección esférica, además de que la mayor parte de los edificios-esfera, no son de redondez completa y/o no requieren de una precisión innecesaria para el objetivo.

Geode - Paris.villa farnase.Tecnosfera Dubai
La Geode en Paris ................. Villa Farnese en Caprarola .............. Tecnosfera en Dubai


Pentágono y arte

El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Da Vinci, entre otros.

Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitrubio y en otras obras de Leonardo da Vinci.

En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Débussy (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente).

Autores como Bártok, Messiaen, Stockhausen compusieron obras cuyas unidades formales se relacionan (a propósito) con el número áureo

Relaciones arquitectónicas en las Pirámides de Egipto.

La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.).

En los violines, la ubicación de las efes (los oídos, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.

musica de las esferaspintura penta.arte pentagonal


Pentágono y filosofía

En la memoria ancestral las estrellas del firmamento se han representado por pentágonos estrellados. Las representaciones más antiguas que se conocen datan del 3.500 a.C., y han aparecido en tablillas con escritura cuneiforme halladas en yacimientos babilónicos. En estos casos, el pentagrama parece haber sido usado como emblema de alguna ciudad o región.

Esta estrella representa multitud acciones e instituciones, desde sociedades secretas y/o esotéricas como los Masones y Rosacruces, en banderas nacionales y partidos revolucionarios, hasta en el Paseo de la Fama de Los Ángeles.

En el mundo griego y luego romano, cada altar dedicado al dios de la guerra, para canalizar la mayor parte de su fuerza era ser pentagonal, por ello este símbolo fue elegido para formar la base de la mayoría templo moderno guerra creada por "hombre”

arte pentaclo.pentaclo en Notre Dame.leda_dali_aurea


El pentagrama, pentáculo o estrella de cinco puntas es un emblema con más de 5.000 años de antigüedad, cuyo mensaje ha ido evolucionando a lo largo de la Historia y que ha sido considerado generalmente como positivo.

La siguiente aparición del pentagrama la encontramos entre el pueblo hebreo, para cuyos miembros la estrella de cinco puntas se identificaba con el Pentateuco (cinco libros del Antiguo Testamento), y también con la Verdad.

En la Grecia clásica el pentagrama gozó de una importancia capital para una sociedad secreta esotérica —la de los pitagóricos—, que influiría notablemente en el devenir filosófico de la cultura occidental.

 Para los seguidores del sabio de Samos, los números poseían un profundo sentido y valor místico. Entre los números sagrados para los pitagóricos destacaba la 'Década' (10) y también su mitad, la 'Péntada' (5), que simbolizaba el número del hombre, la armonía natural y el movimiento del alma.

Estos números tenían también su representación gráfica que, en el caso de la 'Péntada', era precisamente el pentagrama. Los iniciados en esta secta, que estaban sometidos a una inquebrantable "ley del secreto", interpretaban la estrella de cinco puntas —además de los significados atribuidos a la 'Péntada'— como símbolo de la salud ('egeia' en griego). También como una contraseña o símbolo de reconocimiento entre ellos.
Vidriera con pentagrama en la catedral de Notre-Dame de París.

Esta "fascinación" de los pitagóricos por el pentagrama fue heredada a los constructores medievales y renacentistas y lo "más importante como figura clave fue el pentágono, que poseía la llave de la geometría y de la sección áurea e incluso poseyó poderes mágicos".

También posee una lectura puramente cristiana, como en el romance 'Sir Gawain y el Caballero Verde', el héroe porta en su escudo el símbolo del pentagrama, y se le relaciona con las cinco heridas de Jesús crucificado, los cinco dedos de la mano y las cinco virtudes: generosidad, compañerismo, pureza, cortesía y misericordia.

Hombre de Agrippa-1531.pentaclo
Hombre inscrito en el Pentagrama de Agrippa

En el Renacimiento, retomó un significado mágico, como ejemplifica la célebre obra 'De occulta philosophia' (1531), de Cornelius Agrippa von Nettesheim, en cuyos grabados encontramos representaciones de un hombre con las extremidades extendidas y enmarcado dentro de un círculo, generando con su cuerpo un pentagrama.

Para Agrippa este símbolo era un emblema del hombre como microcosmos, del ser humano como reflejo y correspondencia de la estructura del Universo.

Como vemos, lejos de ser un símbolo del mal, el pentáculo se entendía por encima de todo como un signo positivo y benéfico, capaz de mantener a raya a las fuerzas malignas.

Un significado benéfico que contrasta con el que tenemos en la actualidad, relacionado con el satanismo, sobre todo si aparece representado con dos "puntas" hacia arriba y asociad al macho cabrío. Aún más sabiendo que desde la prehistoria los cornudos son símbolo de fecundidad, sexualidad y vida.

Parece ser que el responsable de esta identificación es el ocultista francés del siglo XIX Éliphas Lévi, quien lo mencionó de este modo en varios de sus textos.

Las obras de Lévi gozaron de tal popularidad que su influencia fue imparable, desde entonces, otros ocultistas —como el "mago negro" Aleister Crowley— repitieron afirmaciones semejantes, hasta que ya en pleno siglo XX Anton Lavey, fundador de la Iglesia de Satán, lo convirtió en su principal seña de identidad.

De esta manera, la cultura popular asumió un nuevo significado para este símbolo milenario que fue considerado portador de conocimiento y protector contra el mal durante más de 5.000 años.

 

PENTÁGONOS EN LAS FLORES:

Mejor volvemos a cosas menos polémicas y definitivamente en consenso muy bellas: las flores, dentro de las cuales abundan las que se organizan mediante pentágonos y sus estrellas de cinco puntas, que desde luego incluyen a Fi y las espirales de Fibonacci, como la proporción básica.

Flor de base pentagonal.Flor de base pentagonal.Flor de base pentagonal

Flor de base pentagonal.Flor de base pentagonal.Flor de base pentagonal

Flor de base pentagonal.Flor de base pentagonal.Flor de base pentagonal

Flor de base pentagonal.Cactus pentagonal.Flor de base pentagonal

 

PENTÁGONOS EN LOS CÍRCULOS DE LAS COSECHAS:

Pero como no podemos irnos sin algo de polémica, obligado es acompañar este paseo con los intrigantes círculos de las cosechas (crop circles), sin entrar a valorar las explicaciones surrealistas, ingenuas, absurdas, ingeniosas, poéticas, filosóficas, místicas, etc., etc.vertidas al respecto.

Pero también es de consenso el misterio, lo fantástico y bello del resultado. Siendo los pentágonos, sus espirales y la sección áurea, tan importantes para el Universo, no pueden faltar en los círculos de las cosechas, de los cuales copiamos una selección:

Círculos de las cosechas con pentágonos

Círculos de las cosechas con pentágonos...Círculos de las cosechas con pentágonos

Círculos de las cosechas con pentágonos...Círculos de las cosechas con pentágonos

Penta- Haley...Círculos de las cosechas con pentágonos

Círculos de las cosechas con pentágonos..Círculos de las cosechas con pentágonos

 

PI y FI en los círculos de las cosechas:

Desde luego que no podemos hacer una pausa en el tema, sin incluir las constantes universales que probalemente más se repiten en el Universo y son los ejes de su estructura y funcionamiento: Pi y Fi, parte fundamental de la relación entre los pentágonos y la esfera. Es la búsqueda de la transformación del poliedro pentagonal sphaedro a la esfera y viceversa, ...de eso se trató esta historia. ...Y tal parece que a alguien más en el Universo le interesa el tema.

Pi y circulos de cosechas

Fi y circulos de cosechas

 

Algunas conclusiones?

El infinito como número, de verdad que puede asustar a casi cualquiera, no en vano los Pitagóricos hicieron un pacto de sangre y silencio cuando encontraron que la raíz cuadrada de dos es un número con infinito número de decimales, sin que se pueda convertir en una fracción.

Por tal razón argumentaron que la esfera no es un Sólido Platónico, porque tiene infinito número de caras y que cada cara es un punto, lo cual es un absurdo en sí mismo, ya que el punto como por definición axiomática no tiene dimensiones, lo cual conlleva que la esfera tendría una superficie con infinita cantidad de entes no existentes, en consecuencia la esfera no existe. Algo que desde luego la naturaleza desdice.

Las esferas existen y su perfección depende del grado de exigencia para la ocasión.

Una esfera de 2 metros de alto con acabado vidrio y una perfección de 1 millonésimo, en la realidad sólo es un sphaedro de 2.592 caras pentágono-regulares.

Esto significa que el infinito como número, en la realidad son un montón de números y algunos muy pequeños. Nada más pensemos que si una esfera más alta que una persona sólo ocuparía 2592 caras pentagonales para ser "perfecta" hasta para el más fino instrumento de medición, entonces imaginemos las que ocupamos para una bolincha (canica de vidrio).

Es curioso, René Descates descartó al infinito como número, de seguro no jugaba a las bolinchas.

El infinito no tiene porqué asustar a nadie.

De igual manera, podemos dar fe de que la esfera es un poliedro de caras pentágono regulares y desde luego convexo, por lo tanto es un Sólido Platónico con todo derecho.

!!...Muerto el infito, ...Pitágoras descanza en paz !!!

 

Bibliografía de referencia:

Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes.- Matila C. Ghyka. Ed. Poseidon. 1977
El número de oro I y II.- Matila C. Ghyka. Ed. Poseidon. 1968
La Divina Proporción.- Luca Pacioli. Ed. Akal S.A. 1991.
Geometría Sagrada, Descifrando el código.- Stephen Skinner. Ed. Gaia. 2007
Sacred Geometry.- Miranda Lundy. Ed. Walker & Compny, New York. 1998
El antiguo secreto de la Flor de la Vida.- Vol. 1 y 2, Drunvalo Melchizedek. Ed. Teohua, Mexico
www.bibliotecapleyades.net/geometria-sagrada
www.charlesgilchrist.com
www.georgehart.com
https://es.noticias.yahoo.com/blogs/arte-secreto/el-significado-oculto-del-pentagrama-104149486.ht
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