La elegancia en matemática
Qué es la elegancia?, Es aplicable a las ciencias?, Cómo se define elegancia?

Por Ibo Bonilla Oconitrillo

Cual fórmula es más bella, ...más elegante?

La Fórmula 10 de IBO:
............... o esta otra:

La Fórmula de Euler:
....... e^{i · π} + 1 = 0

El término "elegante" es confuso porque usualmente lo referimos a la moda y esto aporta mucho ruido, al punto que se piensa que es subjetivo, pero no lo es tanto, y veremos que tiene bases bastante objetivas.

El Diccionario de la Real Academia Española nos informa que “elegante” significa “dotado de gracia, nobleza y sencillez; airoso, bien proporcionado, de buen gusto”.

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Rolls Royce Phantom .................... Hotel Burj al Arab en Dubai ................... David de Miguel Ángel

Viéndolo bien, parece que tales adjetivos son aplicables no sólo a personas y cosas sino también a eventos, conductas y expresiones, aún científicas:

...dotado de gracia, alude a buen ritmo y proporción. Que no es caótico ni estridente.

...dotado de nobleza, indica origen primigenio, puro, de calidad original. Sin contaminación.

...dotado de sencillez, implica que es natural y espontáneo. Que no tiene artificio ni composición.

...siendo airoso, refiere a efectividad y lucimiento.

...siendo bien proporcionado, apto para lo que es menester. Sin partes excesivas o innecesarias.

...siendo de buen gusto, que induce placer o deleite que se experimenta por su expresión.

El Dr. Mario Bunge dice que "es elegante cuando nos causa una emoción estética parecida a la que nos despierta la contemplación de algo bello y, al mismo tiempo, encontramos que se ajusta a nuestros cánones estéticos."

Ortega y Gasset reflexiona: "En el latín más antiguo, el acto de elegir se decía elegancia como de instar se dice instancia. Recuérdese que el latino no pronunciaría elegir sino eleguir. Por lo demás, la forma más antigua no fue eligo sino elego, que dejó el participio presente elegans. Entiéndase el vocablo en todo su activo vigor verbal; el elegante es el «eligente», una de cuyas especies se nos manifiesta en el «inteligente». Conviene retrotraer aquella palabra a su sentido prócer que es el originario. Entonces tendremos que no siendo la famosa Ética sino el arte de elegir bien nuestras acciones eso, precisamente eso, es la Elegancia. Ética y Elegancia son sinónimos. El vocablo «elegancia» tiene además la ventaja complementaria de irritar a ciertas gentes, casualmente las mismas que, ya por muchas otras razones previas, uno no estimaba."

Keith Ferrari dice que elegancia es “el arte de hacer el mínimo esfuerzo para conseguir el máximo efecto, la máxima cantidad de poder y éxito en la vida”. Keith Ferrari, es autor de varios best seller de auto ayuda, entre ellos "Nunca comas solo" y "3 personas para cambiar tu vida".

Pero acerquémonos a lo que se dice en el ámbito científico, por ejemplo, en octubre del 2004, la Revista Physics World publicó un artículo titulado "The greatest equations ever" (http://physicsworld.com/cws/article/print/20407), que comenta una encuesta hecha a 120 lectores en la que pedía que eligieran la mejor ecuación jamás hecha. Cada uno escogió su ecuación favorita basándose en su "belleza, la profundidad de sus implicancias, su simplicidad o su pragmatismo".

Entonces, parece que la ciencia, el arte y el éxito en la vida cotidiana, tienen puntos en común y se sintetizan en el concepto de elegancia, incluso tienen una base común , tal como lo establece la etimología y sabiamente lo recoge la Real Academia de la Lengua Española actual.

O sea que la elegancia es un atributo de personas, objetos, hechos y conceptos, pero también depende de la capacidad del observador para detectarla, y como tal, parece que es una habilidad inherente al ser humano, una cualidad intuitiva que le ha ayudado a sobrevivir desde el principio de los tiempos.

Tal capacidad se ha perfeccionado a través de millones de años y se ha alojado en su memoria genética, como la herramienta básica para elegir lo adecuado a cada situación, elevada a la categoría de arte y emparentando etimológicamente la ética con la elegancia.

Identificar en fracciones de segundo la mejor opción, es elegir aquella con mejor proporción y ritmo, sencilla, de componentes lo más puros posibles, sin excesos, deformaciones ni contaminantes, en esencia con regularidades que permitan proyectar con cierta certeza la evolución de nuestra decisión.

Y eso, precisamente, es hacer ciencia.

O sea, valga la redundancia, elegir con elegancia es hacer ciencia.

La naturaleza es compleja, y los seres humanos queremos conocer sus secretos, por eso desde las cavernas, nos hemos esforzado en conocer sus regularidades, empezando por el clima y la reproducción, hasta llegar a las ciencias físicas, para comprender su funcionamiento y usarlo para nuestra comodidad o conveniencia, y en última instancia, para garantizarnos la supervivencia. Así nace la ciencia, intrínseca a la elegancia.

"Elegancia" como nominalización adjetiva del verbo "elegir".

Y la observación científica durante los últimos 3000 años ha reconcocido una proporción que aparece reiteradamente en las formaciones biológicas y minerales sanas, una proporción intuitivamente incorporada en los clásicos de la arquitectura, música, pintura y escultura, reconocidos como bellos universalmente y creados en diferentes épocas, culturas y continentes.

Cual es esa proporción que conecta la ciencia y la estética?

Φ (FI), la proporción áurea, el número divino, ...ese número que aparece en todo lo que apreciamos como bello o bien proporcionado: artes plásticas, arquitectura, música y desde luego en las formaciones biológicas y minerales sanas, como el cuerpo humano, flores, plantas, caracoles, cristales, galaxias, etc.

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Cuánto vale Φ (FI) y cómo se formula matemáticamente?

Es un número irracional, con infinito número de decimales sin perodicidad determinada, por lo tanto no convertible en ningún número fraccionario.

Φ = 1,61803398874989... Su fórmula es: Φ = ( 1 +√5 ) / 2

Es el resultado de resolver la ecuación: x² - x - 1 = 0

Porqué en forma abundante aparece Φ (FI) en creaciones naturales e intuitivas bellas?

Porque el crecimiento cristalográfico y orgánico natural, sin deformaciones, siempre es binario, parte de dos elementos, y cada nuevo elemento es la suma de los dos anteriores, y esto son series de Fibonacci, y en las series de Fibonacci la división de cualquier número entre su antecesor tiende a el número Φ (FI).

Ejemplos de series de Fibonacci:
1) A partir del 1 y el 2: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
2) A partir del 2 y el 5: 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, ...

O sea, el número Φ (FI) está naturalmente en la estructura de todos los organismos que han crecido naturales, sanos, sin alteraciones ni accidentes, con:

gracia, con buen ritmo y proporción.

nobleza, partes de origen primigenio, puros.

sencillez, natural y espontánea.

airoso, con efectividad.

En consecuencia es:

bien proporcionado, apto para lo que es menester. Sin partes innecesarias, excesivas o deformes.

Por lo que es considerado:

de buen gusto, que induce placer o deleite que se experimenta por su expresión grácil, noble, sencilla y efectiva.

Cabe advertir que hay infinita cantidad de pares de números para iniciar series de Fibonacci, en consecuencia hay infinidad de resultados.

Porqué es tan importante elegir lo bello o elegante para sobrevivir?

En el cuerpo humano el número Φ (FI) aparece interna y externamente por muchos lados, o sea, apreciamos como bello aquello en lo cual intuitivamente captamos como hecho a nuestra imagen y semejanza, con proporciones que compartimos, que identificamos inconscientemente con "pedigree", con calidad genética, sano y reproducible con pocas probabilidades de tener sorpresas. Una mala elección pone en riesgo nuestra herencia genética o incluso nuestra supervivencia inmediata.

Porqué es tan importante el número Φ (FI)?

Porque en consecuencia a lo dicho, es la conexión, ...el puente, entre la estética y la ciencia. O sea que las personas con mayor capacidad de elegir lo bello o elegante, tienen una intuición que les hace más aptos para la supervivencia. De allí la tendencia natural a cultivar la estética y a preocuparnos por lucir bien, ...nadie quiere ser excluido o no elegible, ...es un asunto de supervivencia.

Comprender la fórmula de identificación de lo elegante es un asunto vital, por eso está en la raíz de la ciencia, como herramienta abstracta de comprensión y manipulación de los fenómenos naturales, para garantizar la vida con eficiencia.

Se puede relacionar Φ (FI) con otras proporciones que aparecen reiteradamente en la naturaleza, como π (PI), e (exponencial), I (imaginario transcomplejo) y β (número de Boile)?

Sí, con la La Fórmula 10 de IBO:

(*): más abajo puedes encontrar los valores y fórmulas de cada uno de estos maravillosos números y hasta comprobarlo con una simple calculadora.

Es una fórmula que en forma elegante reune a los 4 números irracionales más famosos en la ciencia y reiterados por la naturaleza, con el número irracional más reconocido en la estética, la base decimal y a su vez los números binarios básicos en el funcionamiento cerebral y computacional.

Que sumados 5 números irracionales den un número entero es fantástico para cualquier aficionado a los números. Y que ese número entero sea 10, la base decimal, con su base binaria incluida, es alucinante. ...Les parece?

Lo más interesante es que podemos aseverar que la estética es parte del diseño natural, identificable como regularidad y por lo tanto abstraíble como modelo, incluso sintetizable en una sóla ecuación integradora con las principales constantes naturales.

Entonces, ...la apreciación estética es objetiva o subjetiva?

Es objetiva en cuanto obedece a unos principios físico matemáticos identificables, pero subjetiva en cuanto depende de la elegancia, o sea, de la capacidad de elegir de un sujeto particular en un contexto específico, y esa elección se hace de forma instintiva y en fracciones de segundo, apoyada en informaciones sensoriales complementarias.

La capacidad de elegir correctamente (ética) se puede entrenar, y ayuda mucho, pero finalmente depende de la capacidad innata del elector, de su instinto, de su intuición.

Decía Jhon Palmer, reconocido como el mejor golfista de todos los tiempos: "...qué curioso !, ...entre más practico, más suerte tengo".

La elegancia, ...es un atributo de la cosa o una cualidad de su observador?

Hay cosas aceptadas por la mayoría, y en diferentes épocas, como elegantes.

Pero porqué no por todos?, Porque depende del ''para qué?", "para quién?" y "cuándo?", o sea, más parece una cualidad, una virtud del elector.

Veamos un ejemplo muy cotidiano: La elección de un traje por una dama.

La elección correcta no depende del lujo ni del costo del vestido. Aún más, el mismo traje no le sirve si ha engordado, o si es para una fiesta de noche, una celebración matutina o un funeral. Ella se verá elegante si hace la elección correcta, entonces y sólo entonces, el vestido será elegante y ella a su vez, será considerada por los demás como elegante. ...Y dentro de "los demás", alguien le echará el ojo, por ser elegante para su condición, circunstancia y objetivos.

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Isabel Preysler considerada la mujer elegante por excelencia,
elección de mercadotécnia, nobles, cantantes y banqueros.
Khuan Chew diseñadora de los espacios interiores más elegantes,
pero ella misma la más sobria y discreta imaginables.

Alguna conclusión?

En consecuencia: la elegancia se trata de una cadena de elecciones y eligientes, en circunstancias específicas, pero siempre buscando construcciones naturalmente sanas, como principio de supervivencia.

Veamos otro ejemplo clásico de elegancia en matemática: Pi ( π ), la razón esférica.

Una fórmula clásica desde los tiempos de Pitágoras, con cientos de demostraciones y múltiples expresiones, como ejemplo pondremos algunas de las más conocidas y curiosas:

Fórmula clásica de Leibnitz:

Fórmula de Bailley y Ferguson:

Fórmula de Machín:

Fórmula de Ramunajan:

Fórmula de Chudnoy:

Fórmula de Yasumasa Kanada

Entonces les propongo, como un sencillo ejemplo de elegancia en la matemática,
la Fórmula Pi de IBO:

π  =  8/1·3 + 8/5·7 +...

Su demostración es compleja, pero su expresión final es de una sencillez y ritmo insuperables, con sólo 5 números naturales queda establecida una estricta serie, que cualquier escolar puede identificar y hasta calcular. Con un número par (el 8), los números impares en orden y las 3 operaciones elementales, dice todo.

Cumple todas las condiciones para ser elegante en su contexto, porque tiene:

gracia, con buen ritmo y proporción. No es caótica ni barroca.

nobleza, partes de origen primigenio, puros. Son números naturales y operaciones básicas.

sencillez, natural y espontánea. No tiene artificio ni complejidad innecesaria.

airoso, con efectividad y lucimiento.

bien proporcionado, apto para lo que es menester. Sin partes excesivas.

de buen gusto, induce placer o deleite que se experimenta por su expresión, ...al menos evita la fatiga.

Otro ejemplo:

Volvamos al principio, ...serán aplicables estos criterios para comparar?

La Fórmula 10 de IBO: π + e + I + β + Φ = 10

La Fórmula de Euler: ....... e^{i ·π} + 1 = 0

donde:

En 1748, Leonard Euler , uno de los mayores genios de la humanidad popularizó la conocida como la fórmula más bella: "La fórmula de Euler" (que fuera demostrada por primera vez por Roger Cotes en 1714), por la sencillez con que correlacionó π, e, i, con el 1 y el 0.

Sin duda me parece fantástica, pero es muy difícil de entender e imposible de calcular con números reales, pero lo que más le hecho en falta, es la ausencia de Φ, por eso propuse "la fórmula 10", que no sólo incluye a Φ sino que usa una sóla operación aritmética (+) y hasta se puede comprobar con una simple calculadora.

Nota: la suma "tiende a 10", porque cada una de las "constantes" son series donde su variable "tiende a infinito", por eso la suma de aproximaciones es una aproximación.

Otros ejemplos de elegancia en matemática:

Como antes se mencionó, en octubre del 2004, la Revista Physics World publicó un artículo titulado "The greatest equations ever" (http://physicsworld.com/cws/article/print/20407), que comenta una encuesta hecha a 120 lectores en la que pedía que eligieran la mejor ecuación jamás hecha. Cada uno escogió su ecuación favorita basándose en su "belleza, la profundidad de sus implicancias, su simplicidad o su pragmatismo".

Así establecieron el siguiente ránking, que adjunto, con algunos comentarios de Juan Carlos Estrada, para que cada uno lo juzgue:

1. Las ecuaciones de Maxwell:

La primera de la lista, con 25 votos, no es una sola ecuación, sino un conjunto de ellas. "Y Dios dijo:" (las ecuaciones de Maxwell) "y se hizo la luz", dice la imagen, que podrán ver en los polos de algunos físicos si se pasean por el MIT o por Harvard. Y no es una exageración. Algunas soluciones de las ecuaciones de Maxwell nos dan la ecuación de una onda electromagnética que se desplaza justamente a la velocidad de la luz, y que tiene todas sus propiedades. Esa onda, dependiendo de su longitud, sale de nuestros celulares, cuando hacemos una llamada, y llega a nuestras radios y a nuestras antenas de DirectTV, choca contra nuestros cuerpos cuerpos en una tomografía de rayos X y contra nuestros ojos cuando vemos cualquier cosa.

Las cuatro ecuaciones de Maxwell, junto con la ley de fuerza de Lorentz, nos proveen una descripción completa del electromagnetismo clásico, y son la base teórica de gran parte de nuestra tecnología moderna.

2. La identidad de Euler:

3. La segunda ley de Newton:

Amada y detestada a la vez, la segunda ley de Newton aparece tercera en la lista. A partir de este lugar, todas las ecuaciones fueron elegidas con entre 2 y 10 votos. Es la base de carreras como Ingeniería Civil e Ingeniería Mecánica, pero no funciona cuando se trata de velocidades cercanas a las de la luz. Mientras que es algo casi obvio que un cuerpo se acelera en la dirección de la fuerza en nuestro mundo cotidiano, de velocidades lentísimas, esto no pasa a ser cierto cuando las cosas comienzan a desplazarse a velocidades cercanas a la de la luz, y los objetos no son necesariamente acelerados en la dirección de la fuerza. Esto sucede cuando usamos la "versión colegial" de la Ley de Newton, o versión moderna: F=ma, que asume masa constante. Sin embargo, si usamos la versión antigua, dada por el propio Newton, que dice que la fuerza es igual a la derivada respecto al tiempo del momento lineal, entonces no hay problema: la Ley de Newton, en esta forma, se cumple a cualquier velocidad.

4. El Teorema de Pitágoras:

Conocido despectivamente también como "teorema del burro" (porque es tan sencillo que todo el mundo se lo puede aprender de memoria), el teorema de Pitágoras es antiquísimo (las más antiguas referencias se remontan al 2500 A.C., y pertenecen a culturas del norte de Europa y a Egipto), y ha sido descubierto y redescubierto muchas veces a lo largo de la historia. El teorema de Pitágoras es válido en el espacio que los matemáticos designan como euclidiano, y que es el espacio donde naturalmente pensamos que vivimos hasta que leemos un poco de relatividad general y cosmología. Sin embargo, no es válido para espacios curvos como el de nuestro universo, y si contásemos con aparatos de medición infinitamente precisos, veríamos que imposible construir triángulos rectos que cumpliesen el teorema de Pitágoras en nuestro universo.

5. La ecuación de Schrödinger:

La ecuación nos permite conocer como evoluciona el estado cuántico de un sistema físico a lo largo del tiempo. Esto no ayuda mucho tampoco. Bien, entonces digámoslo así: nos permite conocer una serie de propiedades de las partículas. De más ayuda servirá esto: la ecuación de Schrödinger ocupa el mismo lugar central en la mecánica cuántica que ocupan las leyes de Newton en la mecánica clásica. Y además, la ecuación de Schrödinger, así como la de Newton, no es válida para velocidad cercanas a la de la luz. Para velocidades así, al igual que pasó con la ecuación de Newton, se necesita otra ecuación, mucho más general

6. La equivalencia masa-energía:

La más famosa fórmula de la Física nos permite sacar conclusiones como "la energía contenida en un billete de un dólar (que pesa aproximadamente un gramo) equivale a la energía consumida por toda la humanidad durante 1 minuto". Einstein propuso, con esta fórmula, que la masa y la energía son esencia lo mismo.

7. La fórmula de la entropía de Boltzman:

La ecuación de Boltzman relaciona la entropía S con el número W de formas en que los átomos o moléculas de un sistema termodinámico pueden ser arreglados.

¿Qué es la entropía? Hay una interpretación microscópica y una macroscópica. Como la fórmula de Boltzman se refiere a objetos microscópicos, entonces doy la microscópica: es el grado de incertidumbre de un sistema. Es decir, mide qué tantas posibilidades hay en la evolución del sistema a partir de que tenemos un volumen y una temperatura dadas: por ejemplo, una molécula puede vibrar desde ese entonces hacia arriba o hacia abajo, y la otra también, y de repente se puede mover además hacia la izquierda o hacia la derecha, y así sucesivamente.

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