EL NÚMERO CERO

Por Ibo Bonilla Oconitrillo

 

El número cero ocupa un papel primordial en la historia del desarrollo de la abstracción por parte del ser humano. Aunque se dice que filosóficamente aparece en la cultura de la India hace unos 17.000 años, no es hasta hace alrededor de 1.500 años que se incorpora como cifra en los cálculos matemáticos.

EL CERO EN LA  MATEMÁTICA  MODERNA

Se simboliza como “0”.

Valor nulo de una magnitud. Varios conjuntos de números incluyen al cero.

 

a) En la suma, el cero es el elemento neutro, es decir, cualquier número a, sumado con 0 vuelve a dar a. Ejemplo: 25+0=25

 

b) En el producto, el cero es el elemento absorbente, cualquier número operado con 0 da 0. Ejemplo: 25x0=0

 

c) El 0 dividido por todo número es 0, salvo 0. Ejemplo: 0÷8=0
Cero dividido por cero se considera un resultado indefinido, ya que según sea el caso, aplicando límites el resultado puede ser cualquier número.

 

d) División por cero: El cero es el único número real por el cual no se puede dividir. La razón es que 0 es el único número real que no tiene inverso multiplicativo. Matemáticamente, un número dividido por cero, tiende a infinito.

 

e) Cero factorial es igual a uno,   0! = 1

f) En trigonometría: (cos π/2 = 0)  y  (sen π = 0)

g) Logaritmo natural:  ln(e) = 1,     Logaritmo común:   log(1) = 0

Sistemas Digitales: el “0” se asocia con la posición de "apagado" en lógica positiva y es uno de los dos dígitos del sistema binario.
El sistema binario (0  y  1), es la base de neurotransmisores del cerebro, así como el sistema básico de las computadoras.

 

HISTORIA DEL CERO

Adjunto un resumen de notas históricas relevantes sobre el cero, tomadas principalmente de un artículo elaborado por Manuel Herman Capitán.

El cero tuvo una larga trayectoria de comprensión e incorporación a la cultura, primero apareció como concepto de pausa, hasta hace pocos siglos que se instaló como cifra.


Lo primero que hay que decir sobre el cero es que hay dos usos para el cero, ambos extremadamente importantes, pero algo distintos. Un uso es como indicador de lugar vacío en nuestro sistema numérico de valor por posición. Así pues en un número como 2106 el cero es usado para que las posiciones de 2 y de 1 sean correctas. Claramente 216 significa algo bastante distinto. El segundo uso del cero es como un número mismo en la forma que lo usamos como 0. Hay también otros aspectos distintos del cero en estos dos usos, a saber, el concepto, la notación y el nombre. (Nuestro nombre “cero” deriva del árabe sifr el cual también nos da la palabra "cifra".)

Ninguno de los usos de arriba tiene una fácil descripción histórica. No sucedió que alguien inventó las ideas y entonces todo el mundo comenzó a usarlos. También es justo decir que el número cero está lejos de ser un concepto intuitivo. Los problemas matemáticos comenzaron como problemas “reales” más que como problemas abstractos. Los números en los primeros momentos de la historia eran concebidos de una forma mucho más concreta que los abstractos conceptos que son nuestros números de hoy.

 

Hay un salto mental gigantesco de 5 caballos a 5 “cosas” y de ahí a la idea abstracta de “cinco”. Si los antiguos resolvían un problema sobre cuántos caballos necesitaba un granjero el problema no iba a tener un resultado de 0 o -23 como respuesta.

Se podría pensar que una vez que aparece un sistema numérico de valor por posición entonces el 0 como indicador de posición vacía es una idea necesaria, aunque los babilonios tuvieron un sistema numérico de valor por posición sin esta característica durante 1000 años. Además no hay ninguna evidencia de que los babilonios sintiesen que había algún problema con la ambigüedad que existía. Extraordinariamente, sobrevivieron textos originales de la época de los matemáticos babilonios. Los babilonios escribían en tablas de arcilla sin cocer, usando escritura cuneiforme. Los símbolos se escribían en las tablas de arcilla blanda con el afilado ángulo de una aguja y por esto tienen una forma de cuña (de aquí el nombre de cuneiforme). Sobrevivieron muchas tablas alrededor del año 1700 A.C y podemos leer los textos originales. Por supuesto su notación numérica era bastante distinta de la nuestra (y no en base 10 sino en base 60) pero la traducción a nuestro sistema de notación no distinguiría entre el 2106 y el 216 (el contexto tendría que mostrar a que nos referimos). No fue hasta alrededor del 400 A.C que los babilonios colocaron dos símbolos de cuña en el lugar dónde pondríamos nuestro cero para indicar si significa 216 o 21”6.

Las dos cuñas no fue la única notación que usaron, de hecho, en una tabla encontrada en Kish, una antigua ciudad de Mesopotamia situada al Este de Babilonia en lo que hoy sería la parte centro-sur de Irak, se usó una notación distinta. Esta tabla, que se piensa que data del 700 A.C, usa tres ganchos para denotar un espacio vacío en la notación posicional. Otras tablas que datan más o menos de la misma época usan un solo gancho para un lugar vacío. Esta es una característica común para este de uso diferentes marcas para denotar una posición vacía. Es un hecho que nunca tuvo lugar al final de los dígitos sino siempre entre dos de ellos. Por lo que aunque encontramos 21”6 nunca encontramos 216”'. Se debe asumir que los antiguos sentían que el contexto era suficiente para indicar lo que se pretendía aún en estos casos.

Podemos ver de esto que el primer uso del cero para denotar un espacio vacío no es en realidad un uso del cero como número después de todo, sino meramente el uso de algún tipo de signo de puntuación para que los números tengan una interpretación correcta.

Los antiguos griegos comenzaron sus contribuciones a las matemáticas sobre la época en la que el cero como indicador de posición vacía empezaba a usarse por los matemáticos babilonios. Los griegos sin embargo no adoptaron un sistema numérico posicional. Merece la pena pensar lo significativo que es este hecho. ¿Cómo podían con los brillantes avances matemáticos de los griegos no verlos adoptar un sistema numérico con las ventajas del sistema de valor por posición que poseían los babilonios? La verdadera respuesta a esta pregunta es más sutil que la simple respuesta que vamos a dar, pero básicamente los logros matemáticos griegos estaban basados en la geometría. Aunque el Elementos de Euclides contenía un libro sobre Teoría Numérica, este estaba basado en la geometría. En otras palabras, los matemáticos griegos no necesitaban nombrar los números dado que trabajaban con números como longitudes de una línea. Los números que requerían ser nombrados eran usados por los mercaderes, no los matemáticos, y de aquí que no necesitasen una notación clara.

Aunque existieron excepciones a lo que hemos afirmado. Las excepciones fueron los matemáticos que estaban involucrados en el registro de datos astronómicos. Aquí encontramos el primer uso del símbolo que hoy reconocemos para el cero, los astrónomos griegos comenzaron a usar el símbolo O. Hay muchas teorías acerca de por qué se usó este símbolo en particular. Algunos historiadores están a favor de la explicación de que es omicrón, la primera letra de la palabra griega para nada, es decir “ouden”. Neugebauer, sin embargo, descarta esta explicación dado que los griegos ya usaban omicrón como un número – representaba el 70 (el sistema numérico de los griegos estaba basado en su alfabeto).Otra explicación ofrecida incluye el hecho de que significa “obol”, una moneda sin casi valor, y que surge cuando se usaban fichas para contar en una tabla de arena. La sugerencia aquí es que cuando se eliminaba una ficha para dejar una columna vacía el hueco en la arena parecía un O.

Ptolomeo en el Almagest escrito alrededor del 130 D.C usó el sistema babilonio sexagesimal junto con el parámetro de vacío O. En esta época Ptolomeo usaba el símbolo tanto entre dígitos como al final del número y uno estaría tentado a creer que al menos el cero como parámetro vacío se había establecido con firmeza. Esto, sin embargo, está lejos de lo que sucedió. Solo unos pocos astrónomos excepcionales usaron la notación y cayeron en desuso varias veces antes de establecerse finalmente. La idea del lugar cero (ciertamente no concebido como un número por Ptolomeo quien aún lo consideraba un signo de puntuación) hace su siguiente aparición en los matemáticos indios.

La escena ahora se mueve a la India donde es justo decir que nacieron los números y sistemas numéricos los cuales evolucionaron en los sistemas altamente sofisticados que usamos hoy. Por supuesto, no hace falta decir que el sistema indio debía algo a los sistemas previos y muchos de los historiadores de las matemáticas creen que el uso indio del cero evolucionó del usado por los astrónomos griegos. Así como algunos historiadores parecen querer quitar importancia a la contribución de los indios de una forma poco razonable, hay también quienes afirman que los indios inventaron el cero, lo que me parece ir demasiado lejos. Por ejemplo Mukherjee en [6] afirma:-

... el concepto matemático del cero ... estaba presente también en la forma espiritual desde hace 17 000 años en la India.

Lo
cierto es que alrededor del año 650 D.C el uso del cero entró en la matemática india. Los indios usaron también un sistema de valor por posición y el cero se usaba para denotar un lugar vacío. De hecho, hay evidencias de un parámetro de lugar vacío en números posicionales desde tan pronto como el 200 D.C en la India pero algunos historiadores rechazan estas como falsificaciones posteriores. Vamos a examinar este último uso primero ya que a partir de aquí continua el desarrollo descrito arriba.

Alrededor del 500 D.C Aryabhata ideó un sistema numérico que no tenía aún el cero y que era un sistema posicional. Usó la palabra "kha" para la posición y sería usado más tarde como nombre para el cero. Hay pruebas de que se había usado el punto en los primeros manuscritos indios para denotar un espacio vacío en la notación posicional. Es interesante que los mismo documentos a veces también usan un punto para denotar algo desconocido donde nosotros usaríamos
x
. Posteriores matemáticos indios han nombrado el cero en números posicionales pero aún no tenían un símbolo para el mismo. El primero registro del uso indio del cero datado y sobre el que todos están de acuerdo en que es genuino fue escrito en el año 876.

Tenemos una inscripción en una tabla de piedra la cual contiene una fecha que se traduce por 876. La inscripción concierne a la ciudad de Gwalior, 400 km al Sur de Delhi, donde se plantaron unos jardines de 187 por 270 hastas* el cual podría producir suficientes flores para permitir que se dieran 50 guirnaldas al día a los empleados del templo local. Ambos números, 270 y 50 están anotados casi como los de hoy aunque el 0 es menor y ligeramente elevado.

Podemos considerar ahora la primera aparición del cero como número. Primero apuntar que este no es un candidato natural para número en cierto sentido. Desde los inicios, los números son palabras para referirnos a colecciones de objetos. Ciertamente la idea de número se convierte en más y más abstracta y esta abstracción hace posible la consideración del cero y de los números negativos los cuales no habían surgido como propiedades de las colecciones de objetos.

 

Por supuesto el problema que surge cuando se intenta considerar el cero y los números negativos es cómo interactúan respecto a las operaciones aritméticas, suma, resta, multiplicación y división. En tres importantes libros los matemáticos indios Brahmagupta, Mahavira y Bhaskara intentaron dar respuesta a estas preguntas.

Brahmagupta intentó dar las reglas para la aritmética teniendo en cuenta el cero y los números negativos en el siglo séptimo. Explicó que dado un número si lo restas a sí mismo obtienes el cero. Dio las siguientes reglas para la suma que implicaban al cero:-

La suma de cero y un número negativo, es negativo, la suma de un número positivo y cero es positivo, la suma de cero y cero es cero.

La resta es un poco más compleja:-

Un número negativo restado de cero es positivo, un número positivo restado de cero es negativo, cero restado de un número negativo es negativo, cero restado de un número positivo es positivo, cero restado de cero es cero.

Brahmagupta entonces dice que cualquier número multiplicado por cero es cero pero tiene una dificultad con la división:-

Un número positivo o negativo cuando es dividido por cero es una fracción con cero como denominador. Cero dividido por un número positivo o negativo es o cero o expresado como fracción el cero como numerador y una cantidad finita como denominador. Cero dividido por cero es cero.

En verdad Brahmagupta está diciendo muy poco cuando sugiere que n dividido por 0 es n/0. Claramente tiene un problema con esto. Ciertamente está equivocado cuando afirma que cero dividido por cero es cero. Sin embargo es un intento brillante por parte de la primera persona que sabemos que intentó extender la aritmética a los números negativos y el cero.

En 830, alrededor de 200 años después de que Brahmagupta escribiese su obra maestra, Mahavira escribió Ganita Sara Samgraha que fue diseñado como una actualización del libro de Brahmagupta. Afirma correctamente que:-

... un número multiplicado por cero es cero, y un número permanece igual si se le resta cero.

Sin embargo sus intentos de mejorar las afirmaciones de Brahmagupta sobre la división por cero parecen llevarle al error. Escribe:-

Un número permanece sin cambio cuando es dividido por cero.


Por tanto, Bhaskara intentó resolver el problema escribiendo que n/0 = ∞.

A primera vista podríamos estar tentados a pensar que Bhaskara estaba en lo cierto, pero por supuesto no lo estaba. Si fuese cierto entonces 0 veces ∞ debe ser igual a cada número n, por tanto todos los número son iguales. Los matemáticos indios no podían llegar al punto de admitir que no se puede dividir por cero. Bhaskara hizo otra afirmación correcta sobre las propiedades del cero, no obstante, como que 02 = 0 y que √0 = 0.

Es importante hacer notar en este punto que hubo otra civilización que desarrolló un sistema numérico de valor por posición con el cero. Fueron los Mayas, que vivieron en Centro América. Esta fue una antigua civilización que floreció particularmente entre el 250 y 900. Sabemos que sobre el 665 usaron un sistema numérico de valor por posición de base 20 con un símbolo para el cero. Sin embargo, su uso del cero iba más allá de esto y estaba en uso antes de que lo introdujesen en el sistema numérico de valor por posición. Esto es un notable éxito pero desgraciadamente no influenció a otras culturas.

El brillante trabajo de los matemáticos indios fue transmitido a los matemáticos árabes e islámicos del lejano occidente. Llegó una primera etapa donde al-Khwarizmi escribió Al'Khwarizmi en el arte Hindú del Cálculo en cual describe el sistema numérico indio de valor por posición de cifras basado en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y 0. Este trabajo fue el primero en lo que ahora es Irak en usar el cero como marcador de posición en una notación de base posicional.

 

Ibn Ezra, en el siglo XII, escribió tres tratados sobre números que ayudaron a traer los símbolos e ideas indias de las fracciones decimales a la atención de algunos de los estudiantes europeos. El Libro de los Números describe el sistema decimal para enteros con valores de posición de izquierda a derecha. En este trabajo Ibn Ezra usa el cero, al que llama galgal (significa rueda o círculo).

Ligeramente más tarde en el siglo XII al-Samawal escribió:-

Si restamos un número positivo de cero permanece el mismo número negativo... si restamos un número negativo de cero nos queda el mismo número positivo.

Las ideas se dispersaron hacia el Este, a China, así como al Oeste a los países islámicos. En 1247 el matemático chino Ch'in Chiu-Shao escribió Tratado matemático en nueve secciones en el cual usa el símbolo O para el cero. Un poco más tarde, en 1303, Zhu Shijie escribió El espejo de Jade de los cuatro elementos en el cual usa de nuevo el símbolo O para el cero.

Fibonacci fue una de las principales personas en traer estas nuevas ideas sobre sistemas numéricos a Europa. Se considera que:  un importante nexo entre el sistema numérico Arábico-Hindú y el los matemáticos europeos es el matemático italiano Fibonacci.

En Liber Abaci describe los nueve símbolos indios junto con el signo 0 para los europeos alrededor del año 1200 pero no fue usado ampliamente hasta bastante tiempo después. Es significativo que Fibonacci no fue lo bastante audaz como para tratar el 0 de la misma forma que al resto de números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dado que habla de la “marca” cero mientras que al resto de símbolos los llama números. Aunque traer los números indios a Europa fue claramente de una gran importancia podemos ver en su tratamiento del cero que no alcanzó la misma sofisticación que los indios Brahmagupta, Mahavira y Bhaskara ni la de los matemáticos árabes e islámicos como al-Samawal.


Por supuesto aún hay signos de los problemas causados por el cero. Recientemente mucha gente de todo el mundo celebró el nuevo milenio en 1 de Enero de 2000. Por supuesto celebraron el paso de solo 1999 años dado que el calendario no tienen ningún año cero especificado. Aunque se podría olvidar el error original, es un tanto sorprendente que la mayoría de gente sea incapaz de comprender por qué el tercer milenio y el siglo XXI comenzaron el 1 de Enero de 2001. ¡El cero continúa causando problemas!



LOS NUMEROS Y EL CERO

A continuación se presenta un resumen de consideraciones sobre el cero y el concepto de número, extraído principalmente de notas de Abelardo Falletti.

Número, en matemáticas, es un símbolo utilizado para designar cantidades o entidades que se comporten como tales.

Y a su vez matemáticas significa el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, como así también de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.

Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias.

Los números naturales son:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9

Estos números naturales son los primeros números que surgen sin diferencia alguna en las distintas civilizaciones. Es una cosa muy sugestiva porque podría estar indicando que se trata de una estructura genética en el hombre, mientras que los números posteriores al 9 aparecen como sistemas convencionales de lo más diversos hasta concluir con la adopción del sistema decimal.

Sin embargo en la actualidad dichos números naturales suelen iniciarse matemáticamente con "Cero", y continúa la serie más allá del 9 de un modo relativamente infinito a partir del 10.

Se trata de una convención dentro de la especialidad científica de las matemáticas para facilitar el sistema de contar y permitir su notación posicional.

Por lo tanto el cero no es un número porque por sí mismo no designa cantidades, sino que permite convencionalmente que los números combinados con el cero puedan facilitar los cálculos que designan cantidades mayores a 9.

De lo contrario, los dedos de la mano tendrían que comenzar a contarse desde el "cero" y la suma de los dedos de una mano daría "cuatro". Obviamente se trata de una contradicción en relación con la natural forma de contar que tiene el ser humano.

El símbolo del cero permite aumentar o disminuir el valor del círculo numérico 1 al 9, y mezclado con ellos los posiciona de un modo tal que perfecciona el sistema de cálculos.

Se trata de una convención planetaria unívoca, y por lo tanto las relaciones a que se refiere la definición de las matemáticas son posibles de descodificar en cualquier rincón del planeta, y por cualquier persona humana, con el mismo significado. Este es un logro que no han alcanzado las otras disciplinas científicas cuyas convenciones para establecer un lenguaje unívoco sólo se aplican dentro de cada especialidad.

En la edad media existían seis grupos culturales bien diferenciados, que pueden clasificarse como Occidente latino, Oriente bizantino, China, India, la civilización musulmana, y la civilización Maya.

Fueron los mayas quienes descubrieron la utilidad de incorporar un símbolo llamado "cero" para perfeccionar el sistema de contar que necesitaban para sus cálculos astronómicos.

Esta incorporación de la civilización Maya derivó en el sistema corriente de notación numérica que es utilizado actualmente en casi todo el mundo sobre la base de la numeración arábiga. La innovación aportada por el sistema arábigo fue el uso de la notación posicional, mediante la cual los nueve símbolos numéricos cambian su valor según la posición que ocupen en la cifra escrita.

Esta notación posicional no es posible sin la presencia de un símbolo, no numérico y a este solo efecto, denominado "cero", se le otorgue el símbolo y el nombre que se quiera.

Ese símbolo "cero", por sí mismo, permite distinguir entre 35, 305, 3500, 3005, por ejemplo, sin necesidad de utilizar símbolos adicionales, simplificando de tal modo cualquier tipo de cálculo numérico por escrito o notación. Y el hábito hizo lo demás, porque se han establecido relaciones habituales entre las diferentes notaciones que permiten darle a cada una de ellas el significado correspondiente.

Es algo similar a lo que ocurre con las notaciones musicales para los músicos, con la salvedad de que estas notaciones no son conocidas ni habituales por todos los habitantes del planeta durante centurias como ha ocurrido y ocurre con el sistema decimal y sus notaciones, además de ser colectivamente instruidos convenientemente en la educación primaria sobre las bases del sistema.

El "cero" no sólo significa vacío, ausencia de número, sino que si se imagina a un nadador que salta desde un bote inmóvil flotando en el agua puede encontrarse ese mismo significado. Antes de saltar el nadador y el bote carecen de movimiento, motivo por el cual el momento lineal es "cero", es decir nulo. Al saltar, el nadador adquiere momento lineal hacia adelante de él y al mismo tiempo el bote se mueve hacia atrás con un momento igual en magnitud y dirección pero en sentido contrario. Esto significa que el momento total del sistema formado por el nadador y el bote sigue siendo "cero", es decir ausencia de momento lineal.

La conservación del momento lineal se cumple en la teoría cuántica, al describir los fenómenos atómicos y nucleares, como así también en la relatividad cuando los sistemas se desplazan a velocidades próximas a la de la luz.

El concepto de cero absoluto también es importante desde el punto de vista teórico. Según la tercera ley de la termodinámica, la entropía de un cristal puro sería nula en el cero absoluto. Esto tiene una destacada importancia en las reacciones químicas y en la física cuántica, porque los materiales tienen propiedades muy extrañas cuando se enfrían a temperaturas muy bajas. Por ejemplo, algunos pierden por completo su resistencia eléctrica, tal como se pudo observar en el mercurio a unos pocos grados por encima del concepto del cero absoluto.

En teoría, las moléculas de una sustancia no presentan actividad traslacional alguna a la temperatura conceptual de cero absoluto.

En el sistema binario que utilizan los ordenadores con el sistema de interruptores la posición de encendido corresponde convencionalmente al uno, y el "apagado" al cero. También se pueden usar puntos imantados en una cinta magnética o disco, en el que un punto imantado representa al dígito 1, y la ausencia de un punto imantado es el dígito "cero".

Es decir, el "cero" implica siempre "ausencia". Y matemáticamente significa "vacío de cantidad", "ausencia de número", siendo al mismo tiempo un "cero absoluto" porque en sí mismo no es positivo ni negativo.

Tan sólo conceptualmente se lo puede llegar a considerar como "cero negativo" y "cero positivo", dependiendo ello de la dirección operativa con la cual se llega al cero, según estos ejemplos:

+ 15 - 9 - 6 = + 0

- 15 + 9 + 6 = - 0

Se trata de un concepto, porque el cero entrará en la operatoria matemática sin cambio alguno se trate de una dirección de llegada al mismo en sentido positivo o negativo.

El Cero está definido en matemáticas como el representante de un conjunto vacío cuyo símbolo es el cero.


 

“En la antigüedad y en la actualidad un matemático es un sabio, no un especialista”:  Abelardo Falletti: “Teoremas de la existencia humana”

 

LEONARDO Y LA CUADRATURA HUMANA:          (excelente)

http://webs.adam.es/rllorens/picuad/leonardo.htm

 

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